改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計及其方差分析

與可靠性試驗分析的數(shù)字模擬法類似，許多數(shù)字模擬的方法被發(fā)展起來用于可靠性試驗靈敏度估計[1-9]，在已發(fā)展得較為完善的可靠性試驗靈敏度分析的數(shù)字模擬方法中，Monte Carlo法和重要抽樣法的應用最為廣泛。Monte Carlo法以其思路簡單、易于實現(xiàn)、結(jié)果準確而常常作為一種檢驗其它新方法的標準[10]，但Monte Carlo可靠性試驗靈敏度分析方法的顯著缺點是計算效率低，其所需要的計算量往往是工程設計人員無法接受的。重要抽樣法由于將抽樣的密度中心移到了對可靠性試驗靈敏度貢獻較大的區(qū)域而提高了抽樣效率，加快了可靠性試驗靈敏度估計值的收斂速度[11]。

第二章通過對傳統(tǒng)重要抽樣法進行方差分析及變異系數(shù)估算驗證了傳統(tǒng)重要抽樣法進行可靠性試驗靈敏度分析的高效性，本章將在傳統(tǒng)重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法的基礎上提出一種改進的方法。改進方法的基本思想是利用失效域的性質(zhì)來減少功能函數(shù)的計算次數(shù)，以提高靈敏度分析方法的計算效率。重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析首先必須尋找失效域的最可能失效點，而該點與可靠度指標是一一對應的。在標準正態(tài)空間中失效域位于以坐標原點為球心可靠度指標為半徑的超球外，所提方法正是利用失效域的這一性質(zhì)來減少可靠性試驗靈敏度計算所需的功能函數(shù)的計算次數(shù)的。本章給出了詳細的分析過程及所提方法對單模式和多模式串聯(lián)系統(tǒng)進行可靠性試驗靈敏度分析時估計值的方差和變異系數(shù)的計算公式，最后采用算例對所提方法的效率進行了說明。

1.1 改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析

由于獨立正態(tài)變量具有一定的普遍性，因此本章仍然主要研究獨立正態(tài)變量情況，即假設所研究問題包含的維基本變量相互獨立且均服從正態(tài)分布，，和分別為的均值與標準差。

第2.1節(jié)和2.2節(jié)已經(jīng)分別給出了基于直接Monte Carlo法和基于重要抽樣法的可靠性試驗靈敏度分析過程，這里不再詳述。

從式可知，采用重要抽樣法來估計可靠性試驗靈敏度時，需要計算每個重要抽樣樣本點處的功能函數(shù)值，以判別的函數(shù)值。若能夠利用失效域的一些性質(zhì)來減少功能函數(shù)值的計算次數(shù)，則可以進一步提高可靠性試驗靈敏度估計的效率，改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法正是基于這一思路而提出的。

記設計點為，并記在標準正態(tài)空間中該點的坐標為，則。在維標準正態(tài)空間中，結(jié)構的失效域位于以坐標原點為球心以可靠度指標為半徑的超球之外。記可靠度指標為，則。以記超球內(nèi)的區(qū)域，即，則顯然有，因此落入此超球內(nèi)的樣本點的指示函數(shù)，對于這些樣本點無需再計算功能函數(shù)值。而樣本點是否落入區(qū)域可以簡單地由式所示的區(qū)域內(nèi)的指示函數(shù)來判別。

引入區(qū)域的指示函數(shù)后，式所示的失效概率對第個變量的分布參數(shù)的可靠性試驗靈敏度可改寫成式所示的形式。

在數(shù)值模擬的過程中，用重要抽樣密度函數(shù)抽取的個樣本點的樣本均值來代替總體的數(shù)學期望，可以得到基于改進重要抽樣法的可靠性試驗靈敏度估計式如式所示。

為簡便起見，記，如2.2節(jié)所述，在獨立正態(tài)變量情況下，有

將代入式可得獨立正態(tài)變量情況下基于改進重要抽樣法的可靠性試驗靈敏度估算公式如下所示。

式中當、時，和的計算可分別參照式和，有，，其中為第個樣本的第個分量對應的標準正態(tài)化樣本，即。將和分別代入式可以得到基于改進方法的失效概率對變量均值和標準差的可靠性試驗靈敏度估計值。

從式可知，在改進的重要抽樣法中只需計算按照重要抽樣密度函數(shù)抽取的個樣本中外區(qū)域的樣本點的功能函數(shù)值即可，而判別樣本點是否落入區(qū)域只是一個顯式函數(shù)的計算，從而使得重要抽樣法的計算效率進一步提高。

1.2 改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值的方差分析

采用數(shù)字模擬的方法對真值進行估計均是近似的，為了對改進的重要抽樣法的收斂性有所了解，有必要對估計值作方差分析。對式所示的估計值求數(shù)學期望和方差可得

顯然，是可靠性試驗靈敏度的無偏估計。

在數(shù)值模擬的過程中考慮用樣本平均值和方差代替總體的數(shù)學期望和方差，可近似得到可靠性試驗靈敏度估計值的數(shù)學期望和方差如下所示。

變異系數(shù)為估計值的標準差與估計值均值的比值，反映了估計值的相對分散性。將式和代入式，可以得到改進重要抽樣法可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數(shù)。

1.3 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的改進重要抽樣可靠性試驗靈敏度及其方差分析

在工程應用中，一個結(jié)構系統(tǒng)往往不是僅具有單一失效模式的，而常常包含多個失效模式，下面對包含多個失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度估計值及其方差進行討論。

假設串聯(lián)系統(tǒng)包含個失效模式，以表示每個模式的功能函數(shù)，則系統(tǒng)的失效域。

由可靠性試驗靈敏度的積分定義式可知結(jié)構系統(tǒng)的失效概率對第個變量的分布參數(shù)的靈敏度可以寫成下面的形式。

1.3.1 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的Monte Carlo可靠性試驗靈敏度估計

多模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度的Monte Carlo估計的基本思想和估算公式均與3.1節(jié)所述的單模式系統(tǒng)相似，只是將失效域用上面定義的系統(tǒng)的失效域代替，相應的，指示函數(shù)也要變換成系統(tǒng)的指示函數(shù)，仍然為具有兩個取值的指示函數(shù)，若，則，否則。

按照3.1節(jié)所述的方法，可以容易地寫出系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度的估算公式如下所示。

其中為按基本變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)抽取的個樣本中的第個。

1.3.2 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計

記結(jié)構系統(tǒng)的第個失效模式的設計點為，并記其在標準正態(tài)空間中的坐標為，則第個失效模式相應的可靠度指標如下所示。

以為均值中心點、以的方差為方差，可以構造出第個失效模式的重要抽樣密度函數(shù)，記其為。在式所示的系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度中引入函數(shù)，其具體表達式如式所示。

則可靠性試驗靈敏度可改寫成式的形式。

將式代入式后結(jié)構系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度可寫成式所示的以每個失效模式的重要抽樣密度函數(shù)為密度函數(shù)的數(shù)學期望之和的形式。

假設對于第個失效模式按抽取了個樣本點，則可靠性試驗靈敏度可以用下式樣本函數(shù)均值的形式來估計。

從式可知，采用重要抽樣法來估計可靠性試驗靈敏度時，需要計算每個重要抽樣樣本點在每個失效模式下的功能函數(shù)值。3.1節(jié)為進一步提高重要抽樣的效率引入了一個超球，利用失效域的性質(zhì)可以僅計算超球之外的樣本點的功能函數(shù)值，從而減少功能函數(shù)的計算次數(shù)。多模式系統(tǒng)進行一次結(jié)構系統(tǒng)指示函數(shù)值的判斷就需計算個模式的功能函數(shù)值，因此對多模式系統(tǒng)可靠性試驗靈敏度分析的重要抽樣法進行改進，減少值的判別次數(shù)就顯得更加必要了。

1.3.3 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的改進重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計

在求得系統(tǒng)個失效模式的可靠度指標后，與單模式情況類似，我們可以在系統(tǒng)安全域內(nèi)引入一個半徑最大的超球，亦稱之為球。此超球的球心取為標準正態(tài)空間的坐標原點，半徑取為,則顯然有超球內(nèi)的區(qū)域與系統(tǒng)失效域不相交，即，因此對于落入區(qū)域的樣本點不再需要計算個失效模式的功能函數(shù)值來判別的值了。而樣本點是否落入只需簡單的采用區(qū)域的指示函數(shù)由式進行判別即可。將區(qū)域的指示函數(shù)引入式可得式所示的可靠性試驗靈敏度估算公式。

將3.1節(jié)中的表達式代入上式可得多模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度如下所示。

式中當、時，分別有、，代入式可分別得到系統(tǒng)失效概率對變量均值和變量標準差的可靠性試驗靈敏度。其中，表示按照第個模式的重要抽樣密度函數(shù)抽取的第個樣本的第個分量對應的標準正態(tài)化樣本，即。

1.3.4 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的改進重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值方差分析

對式求數(shù)學期望和方差，并在數(shù)值模擬的過程中近似用樣本平均值和方差代替總體的數(shù)學期望和方差，可求得可靠性試驗靈敏度估計值的期望和方差分別如式和所示。

1.4 算例分析

算例3.1：考慮算例2.2的九盒段結(jié)構，分別采用直接Monte Carlo法、傳統(tǒng)重要抽樣法和改進重要抽樣法對其進行可靠性試驗靈敏度分析，表31給出了失效概率及可靠性試驗靈敏度估計值的對照。

 

表31  算例3.1的失效概率及失效概率對變量均值的可靠性試驗靈敏度計算結(jié)果

方法		Monte Carlo	傳統(tǒng) 重要抽樣	改進重要抽樣
計算功能函數(shù)值次數(shù)		106	6×104	57530		6×104
	估計值	0.00979	0.009769	0.009769	0.215%	0.009777	0.133%
	變異系數(shù)	0.010057	0.006703	0.006703	——	0.006565	——
	估計值	-0.001326	-0.001324	-0.001324	0.151%	-0.001325	0.075%
	變異系數(shù)	0.011960	0.008042	0.008042	——	0.007872	——
	估計值	0.001325	0.001334	0.001334	0.679%	0.001334	0.679%
	變異系數(shù)	0.012004	0.007986	0.007986	——	0.007824	——
	估計值	-0.001326	-0.001316	-0.001316	0.754%	-0.001318	0.603%
	變異系數(shù)	0.011960	0.007962	0.007962	——	0.007801	——
	估計值 (×10-4)	3.31932	3.29196	3.29196	0.824%	3.29497	0.734%
	變異系數(shù)	0.012291	0.008307	0.008307	——	0.008132	——
	估計值	0.001562	0.001586	0.001586	1.536%	0.001585	1.472%
	變異系數(shù)	0.019196	0.013415	0.013415	——	0.013119	——
	估計值	0.001575	0.001607	0.001607	2.032%	0.001605	1.905%
	變異系數(shù)	0.019219	0.013125	0.013125	——	0.012883	——
	估計值	0.001562	0.001552	0.001552	0.640%	0.001557	0.320%
	變異系數(shù)	0.019218	0.013225	0.013225	——	0.012921	——
	估計值 (×10-4)	3.67274	3.65095	3.65095	0.593%	3.64902	0.646%
	變異系數(shù)	0.020699	0.014508	0.014508	——	0.014245	——

備注：表中的相對誤差項表示將表中的Monte Carlo分析結(jié)果作為精確解，其它方法的估計值與精確解比較的相對誤差，以下相同。

 

從上述九盒段機翼模擬結(jié)構的工程算例可以看出，傳統(tǒng)重要抽樣法和改進重要抽樣法在計算功能函數(shù)次數(shù)之比為6×104：57530時，兩者的可靠性試驗靈敏度估計值和估計值變異系數(shù)均相同。而在計算功能函數(shù)值次數(shù)均為6×104時，改進重要抽樣法得到的靈敏度估計值的變異系數(shù)要小于傳統(tǒng)重要抽樣法得到的結(jié)果，可靠性試驗靈敏度估計結(jié)果也更加精確。

算例3.2：某內(nèi)壓圓筒形容器圖3.1所示，其所用材料15MnV，基本隨機變量取為內(nèi)徑、內(nèi)壓強、壁厚以及屈服強度，原始數(shù)據(jù)取自文獻[14]，基本隨機變量相互獨立且服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)見表32。對于常見的內(nèi)壓圓筒形薄壁容器受二向應力[14],即軸向應力，周向應力，徑向應力。根據(jù)第一強度理論可得內(nèi)壓圓筒的極限狀態(tài)函數(shù)為：。式中為等價應力，選用第一強度理論時對于本例。結(jié)構的失效概率及可靠性試驗靈敏度計算結(jié)果在表33中給出。

 

表32  算例3.2基本隨機變量的分布參數(shù) 隨機變量 均值 標準差 460mm 7mm 20MPa 2.4MPa 19mm 0.8mm 392MPa 31.4MPa

圖3.1  內(nèi)壓圓筒形容器示意圖

 

表33  算例3.2的失效概率及可靠性試驗靈敏度計算結(jié)果

方法		Monte Carlo	傳統(tǒng) 重要抽樣	改進重要抽樣
計算功能函數(shù)值次數(shù)		107	105	89247		105
	估計值(×10-4)	4.579	4.59785	4.59785	0.412%	4.58679	0.170%
	變異系數(shù)	0.014775	0.006091	0.006091	——	0.005755	——
	估計值(×10-5)	2.7019	2.52315	2.52315	6.616%	2.5197	6.743%
	變異系數(shù)	0.037874	0.018458	0.018458	——	0.017469	——
	估計值(×10-4)	4.51372	4.51798	4.51798	0.094%	4.50377	0.220%
	變異系數(shù)	0.015489	0.006211	0.006211	——	0.005867	——
	估計值(×10-4)	-6.35394	-6.29526	-6.29526	0.924%	-6.28246	1.125%
	變異系數(shù)	0.019508	0.008579	0.008579	——	0.008097	——
	估計值(×10-5)	-3.51183	-3.55497	-3.55497	1.228%	-3.55004	1.089%
	變異系數(shù)	0.015532	0.006222	0.006222	——	0.005884	——
	估計值(×10-6)	7.8915	7.79646	7.79646	1.204%	8.13953	3.143%
	變異系數(shù)	0.181385	0.087971	0.087971	——	0.079824	——
	估計值(×10-4)	9.82728	9.8257	9.8257	0.016%	9.79176	0.361%
	變異系數(shù)	0.017763	0.007151	0.007151	——	0.006762	——
	估計值(×10-4)	6.57051	6.58925	6.58925	0.285%	6.56984	0.285%
	變異系數(shù)	0.034813	0.016573	0.016573	——	0.015649	——
	估計值(×10-5)	7.8879	8.02906	8.02906	1.790%	8.03193	1.826%
	變異系數(shù)	0.018146	0.007240	0.007240	——	0.006850	——

 

從算例3.2的內(nèi)壓圓筒的工程算例可以看出，傳統(tǒng)重要抽樣法和改進重要抽樣法在計算功能函數(shù)次數(shù)之比為105：89247時，兩者的可靠性試驗靈敏度估計值及其變異系數(shù)均相同。而在計算功能函數(shù)值次數(shù)均為105時，改進重要抽樣法得到的靈敏度估計值的變異系數(shù)比傳統(tǒng)重要抽樣法得到的結(jié)果小。算例3.1和算例3.2的工程算例充分說明了文中提出的改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法在工程應用中是一種高效的可靠性試驗靈敏度分析方法。

算例3.3：串聯(lián)系統(tǒng)由兩個失效模式構成，其功能函數(shù)分別為，，其中包含的隨機變量均服從標準正態(tài)分布且相互獨立。表34給出了失效概率及可靠性試驗靈敏度估計值的對照。

 

表34  算例3.3的失效概率及其對變量均值和標準差的靈敏度計算結(jié)果

方法		Monte Carlo	傳統(tǒng)重 要抽樣	改進重要抽樣
結(jié)構分析的次數(shù)		107	105	86824		105
	估計值 (×10-4)	5.5555	5.49429	5.49429	1.102%	5.50027	0.994%
	變異系數(shù)	0.013413	0.008752	0.008752	——	0.008146	——
	估計值	0.001866	0.001845	0.001845	1.125%	0.001847	1.018%
	變異系數(shù)	0.013787	0.008738	0.008738	——	0.008132	——
	估計值 (×10-4)	1.13748	1.08419	1.08419	4.685%	1.0774	5.281%
	變異系數(shù)	0.076383	0.035376	0.035376	——	0.033193	——
	估計值	0.006066	0.005989	0.005989	1.269%	0.005997	1.137%
	變異系數(shù)	0.014019	0.008287	0.008287	——	0.007713	——
	估計值 (×10-4)	1.99396	1.92066	1.92066	3.676%	1.91251	4.085%
	變異系數(shù)	0.135098	0.038167	0.038167	——	0.035667	——

 

從上述多模式串聯(lián)系統(tǒng)的算例可以看出，傳統(tǒng)重要抽樣法和改進重要抽樣法在結(jié)構分析次數(shù)之比為時，兩者的可靠性試驗靈敏度估計值及其變異系數(shù)均相同。本例為兩個失效模式，那么改進方法節(jié)省的功能函數(shù)值計算次數(shù)就更多了，效率提高得更加明顯。在結(jié)構分析次數(shù)均為時，改進重要抽樣法得到的靈敏度估計值的變異系數(shù)比傳統(tǒng)重要抽樣法小。因此，改進重要抽樣法在分析多模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗靈敏度時具有更高的估算效率。